第九章 日食原理 一、月影轴、本影、伪本影、半影、日食类型 月亮遮住了太阳光,使地球在的人们看不见太阳或只看到太阳的一部分,便形成了日食。在任意时刻,月亮的影子总在存在的,当地球进入月亮影子区域,才能看到日食现象。 ![]() 当角度满足一定条件时才能发生日食。即月亮应在地球和太阳之间才可能发生日食。即日月合朔时刻(或此刻附近)才可能发生日食。如果日月合朔时,月亮位置太“高”或太“低”,影子落在地球的上方(北极之上)或下方(南极之下),地球上看不到日食。 当距离满足一定条件时才能发生全食。设地球的赤道半径为1,那么月亮的影子长度约为58.57。地球带着月球围绕着遥远的太阳公转,公转的轨道是个椭圆,所以月亮月有时离太阳近此,有时候远一些,所以影子长度约为58.57±1.67%,这个值与地月距离60.34很接近。月球绕地运动轨道是个偏心率较大的椭圆,地月距60.34±5.5%,因此地月距离可能小于影子长度,形成日食。 二、日食的周期性 三、空间直线与地球的交点 地球的形状可近似为旋转椭球,月影轴或月影锥的母线可以使用一条直线来描述。某时刻月影轴与地球的交点就是该时刻日食的中心点。影锥的各条母线与地球的交点构成影子在地球上的轮廓线。 ![]() 利用直线的参数方程求解比较容易 ![]() 以下示例程序计算直线与地球的交点,直线经过(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)两点,e为极赤径比,r为赤半径: 交点坐标(x,y,z)求出后,交点的经度α = atan2(y,x),地理经度 L = α - g,地心纬度φ'为tanφ' = z / sqrt(x*x+y*y)。地心纬度φ'与地理纬度φ的关系为:tanφ' = (b/a)2tanφ,式中b/a是极半径比赤道半径。显然地心纬度小于地理纬度,在南北极和赤道上二者相等。 最后,地理经度应限制在-180°到+180°,地理纬度应限制在-90°到90°。西方著作中,地理经度往往是向西为正,那么有L = g - α 四、日食计算所用的坐标系 并没有硬性规定要用哪种类型的坐标系。一般的说,精确的日食计算中,常常用到直角坐标系。 (一)坐标变换 (二)贝塞尔坐标系及其变换 贝塞尔坐标系的定义: z轴经过地心且平行于月影轴,往太阳那个方向为正。垂直于月影轴且经过地心的平面为基面。基面与赤道面的交线为x轴,xyz三轴构成右手坐标系。如果规定x轴正方向的赤经比z轴赤经多90度而不是-90度,这样y轴总是在北半球。 ![]() 设z轴上某一点记坐B向量,写为直角坐标形式记作B[0,1,2],jd时刻太阳赤道坐标为S[0,1,2],月亮赤道坐标为M[0,1,2],存在关系式B = S - M。应注意,这个关系式是一个矢量运算关系。当S、M为球面坐标时,请先将它们转为直角坐标,然后再运算。最后得到的B还可以转为球面坐标。因此,在球面坐标系中,z轴向量的赤道坐标表示:B = xyz2llr( llr2xyz(S) - llr2xyz(M) )。实际上,B的方向十分接近太阳,有中心线日食发生期间,B与S的角度差不到10角秒。 贝塞尔坐标变换三要素: 有了以下三个参数,就可以在贝塞尔坐标、赤道坐标、地理坐标之间进行坐标变换。 当z轴向量B求出后,贝赤交角立即得到:ζ= 90-B[1],同时得到A点的赤经(起算点赤经):υ = 90+B[0]。如果天体赤经要转换为以格林尼治子午圈起算的经度,则应将天体赤经减去格林尼治恒星时。格林尼治恒星时是一个角度量,它指格林尼治子午圈相对春风点的赤经(角度)。 已知天体赤道坐标P[]求其贝塞尔坐标: 已知天体贝塞尔坐标P[]求基赤道坐标: 用直角坐标进行贝、赤坐标变换 ![]() xyz是贝塞尔直角坐标系,XYZ是A点(贝赤交线上)起算的赤道直角坐标系。x轴与X轴重合,y轴向量(0,P,Q),z轴向量(0,-Q,P),其中P = cosζ,Q = sinζ
地理坐标与贝塞尔坐标的转换: 我们在一个实际问题中求解。贝塞尔坐标中的点P(x,y,z)落在地球表面,z轴赤经赤纬是(υ,90-ζ),格林尼治恒星时为g,地球赤道半径为a与极半径为b,若z未知,试求z的值。 ![]() 五、贝塞尔坐标的其它问题 1、求贝圆的短半径: 从贝塞尔基面的定义知,贝塞尔基面与椭球形地球的交线为椭圆,下文称贝圆。贝圆的长半径在x轴,长度为地球赤道半径a。短半径在y轴,如何求其大小呢?我们引入下图,这是地球的一个剖面图,贝塞尔坐标的y轴落在剖面上,OD正是贝圆的半短径b2,今设赤道半径为a,南北极半径为b。 ![]() 依上图建立椭圆方程 (x/a)2+(y/b)2=1,把x = -r*cosζ,y = r*sinζ代入得: 2、贝赤交线与贝黄交线的夹角 应用三垂线定理易证得自转轴总是在yz平面。由于太阳距我们很远,月球则要近得多,所以月球的移动对月影轴方向的影响是轻微的,月影轴的方向主要有太阳决定,基本与太阳相同,因此,如果太阳赤纬为负时,上图中y应画在北极左边。这就是说随着太阳运转,赤纬变化,北极在y轴上左右移动。 由于太阳黄纬小于2角秒且太阳视差小于10角秒,所以基面基本垂直于黄道面,当月影轴经过地球,基面与黄轴的夹角不超过10角秒。虽然,实际计算不推荐看成垂直,但建立这样一种概念有利于坐标变换。贝黄交角:约为90度。 下图则给出贝塞尔坐标、黄道、赤道、基面等的示意图: ![]() 图中∠BOA可按以下方法得到:由黄赤变换公式sinδ = sinβ cosε + cosβ sinε sinλ,A点赤纬是δ=0,B点黄经λ=υ,代入得tanβ = -tanε sinλ = -tanε sin(υ)。贝圆几乎垂直于黄道,所以A的黄纬β近似为∠BOA,则有tan∠BOA = -tanε sinυ 3、半影与贝圆的交点(求两圆交点,贝圆用地球平均半径) ![]() 4、半影与贝圆的交点(求两圆交点,贝圆看作椭圆) 方法与求角圆与圆的交点基本相同,但要多做一次重复计算。 5、半影与贝圆的交点(精确求法) 6、半影与贝圆的切点计算 ![]() 六、在贝塞尔坐标系中求解地球表面某点的速度: ![]() 求某一地标(含海拔)的贝塞尔坐标 求影轴上某点对应的本影和半影半径 影子中心相对于观测点的速度 求某时刻的中心点 地心到直线的距离 ![]() 距离改正 在贝塞尔坐标中,用两点法插值求地月距离(线性插值),会产生一定的误差,建议进行二次函数修正。如图,影足由O运动到A用时T日,角速度为ω ![]() R取地月平均值,以地球赤道半径为单位,即R=385000/6378=60.36,ω为日月黄经差的平均速度0.2128/日,则有f = 1.366(T2-t2),t是以中点O起算的。如果t从B点起算,B运动开A用时T,则f = 1.366t(T-t) 日出日没食甚线的绘图方法 计算的点数是有限的,所以画出的日出日没食甚线不会刚好经过南北界线的头尾端点,以下算法解决上问题。 ![]() 红线是半影直径,它垂直于影子的相对速度方向(影子相对交点上的观测者的速度,它与地球自转有关)。影子速度比贝塞尔平面上地球自转速度大许多,所以红线实际基本垂直于影速方向,倾斜不多。随着影子的移动,红线与贝圆的连续的交点构成日出没食甚线。 上图中的连接图:当北界不存在时,q1连续写点造成q3不存在,因此连线前构造一个q3,即在q3线头写入q1的最后一点;当北界存在时,q1线尾与q3线头分别补上北界的线头和线尾,产生的效果有两个,其一确保q1和q3不为空线,其二使线头连接到北界的端点。q2与q4处理的方法相同。 绘图方法:只要北界存在,不论q1和q3是否存在,q1线尾强制接北界头,q3线头强制接北界尾;如果不存在,q3必不存在,则强制补一个与q1连续的坐标生成一个q3。南界的处理方法类推。最后q1、q2线头连接,q3、q4线尾连接。 |